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Publié : 1er juin 2018
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Concours de pronostics pour la coupe du monde FIFA 2018

I-Un peu de probabilités

1-Avec l’intervalle de fluctuation de seconde

Une première méthode pour évaluer si on est un bon pronostiqueur, très élémentaire, mais sur une base probabiliste, consiste à ne regarder que les résultats des matchs (Gagné, Nul ou Perdu), et de comparer son score à celui obtenu en choisissant totalement au hasard le résultat.
Si on suppose que G,N et P sont équiprobables, on a donc une probabilité p=1/3 d’avoir un bon résultat.
On peut quantifier le hasard en estimant quels sont les scores probables des pronostiqueurs jouant au hasard ; en effet, la fréquence des bons résultats lors des 48 matchs de poules doit se trouver dans l’intervalle de fluctuation à 95%. La formule vue en seconde est applicable ici puisque n=48 est au dessus de 30 et que les produits np=16 et n(1-p)=32 sont supérieurs à 5. Elle donne pour borne inférieure :

et pour borne supérieure :

.
En jouant au hasard, on a donc environ 95% de chance d’avoir entre 48*18.9% env. 9 et 48*47.8% env. =23 bons résultats.
Si on obtient plus de 24 bons résultats, on peut donc considérer que ce score n’est pas dû qu’au hasard.

2- Avec une loi binomiale (niveau première)

Le nombre de bons pronostics suit la loi binomiale B(48 ;1/3) puisqu’il y a 48 matchs de poules et qu’à chaque match, si on joue totalement au hasard entre Gagné, Nul et Perdu et qu’on considère ces événements comme équiprobables, on a une chance sur trois d’avoir le bon résultat.
On connaît pour cette loi les probabilités cumulées dont une partie est donnée dans ce tableau :

L’intervalle de fluctuation à 95% (en ne laissant de chaque côté qu’au plus 2,5% des résultats les moins probables) est alors l’intervalle [a ;b] avec a et b les plus petits entiers tels que la probabilité cumulée jusqu’à a dépasse 2,5% et celle jusqu’à b dépasse 97,5% soit ici [10 ;22] (en réalité [10 ;23] car on a 97,46% < 97,5%...)
Un pronostiqueur pourra donc considérer que son score n’est pas dû qu’à la chance si sur les 48 matchs du premier tour il a réussi à trouver 23 résultats corrects ou plus.
On remarque que l’intervalle de fluctuation de seconde est un peu moins précis ([9 ;23] contre [10 ;22]).

3- Les limites de ces deux modélisations

Ces deux modélisations probabilistes reposent sur des hypothèses ultra simplificatrices, on estime ainsi qu’à chaque match la probabilité est d’un tiers pour les résultats G,N et P, alors que les groupes sont constitués selon un système destiné à éviter que les meilleures équipes ne se rencontrent dès la phase de groupe, et donc ils sont constitués d’équipes de niveaux a priori différents. De plus l’hypothèse d’un tiers de matchs nuls (en raison de la différence de niveaux entre équipes d’un même groupe et peut-être de la victoire à 3 points) n’est pas corroboré par l’expérience. En effet si on comptabilise le nombre de matchs nuls en phase de groupe lors des coupes du monde de 1998 à 2014 (depuis qu’il y a 32 équipes qualifiées), on obtient 64 matchs nuls en 240 rencontres.
En prenant l’intervalle de fluctuation à 95% vu en seconde (le plus « large » de ceux vus au lycée), si la probabilité d’un match nul était de 1/3, on devrait observer une fréquence de matchs nuls dans :

or 64/240 env. 26,7% qui est légèrement en dessous de l’intervalle.
L’hypothèse d’un tiers de matchs nuls est donc peu crédible.
Remarque : Avec la formule pour l’intervalle de fluctuation au programme de terminale, un peu plus précise, on obtient :